三、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

　　樣本來(lái)自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息，但是這些信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來(lái)反映總體的特征，我們?nèi)〉脴颖局�后，并不是直接利用樣本進(jìn)行推斷，而需要對(duì)樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”，把樣本中所包含的有關(guān)信息盡可能地集中起來(lái)，種有效的辦法就是針對(duì)不同的問(wèn)題，構(gòu)造出樣本的某種函數(shù)，這就是統(tǒng)計(jì)量。不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。

　　1.統(tǒng)計(jì)量

　　把不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。一個(gè)統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。

　　定義：設(shè)（X1，X2，…，Xn）為取自總體X的一個(gè)樣本，g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)中不包含任何未知參數(shù)，則稱g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

　　例如，設(shè)X～N（m ，s 2），其中m 已知，s 2未知，（X1，X2，…，Xn）為取自X的樣本，則 是統(tǒng)計(jì)量， ——不是統(tǒng)計(jì)量。

　　統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，因而統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。

　　由統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷，便可獲得對(duì)總體的認(rèn)識(shí)，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心內(nèi)容。

　　2.抽樣分布

　　統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。

　　3.常用統(tǒng)計(jì)量

　　常用統(tǒng)計(jì)量可分為兩類，一類用來(lái)描述樣本的中心位置，另一類用來(lái)描述樣本的分散程度。為此先介紹有序樣本的概念，再引入幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量。

　　有序樣本

　　設(shè)是從總體X中隨機(jī)抽取的樣本，樣本量為n，將它們的觀測(cè)值從小到大排列為： ，這便是有序樣本。其中 是樣本中的最小觀測(cè)值， 是樣本中的最大觀測(cè)值。

　�。�1）描述樣本的中心位置的統(tǒng)計(jì)量

　　總體中每一個(gè)個(gè)體的取值盡管是有差異的，但是總有一個(gè)中心位置，如樣本均值、樣本中位數(shù)等。描述樣本中心位置的統(tǒng)計(jì)量反映了總體的中心位置，常用的有以下幾種：

　�、贅颖揪�值

　　樣本觀測(cè)值有大有小，樣本均值大致處于樣本的中間位置，它可以反映總體分布的均值。

　　②樣本中位數(shù)

　　中位數(shù)有時(shí)也記為Me.

　�。�2）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量

　　總體中各個(gè)個(gè)體的取值總是有差別的，因此樣本的觀測(cè)值也是有差異的，這種差異有大有小，反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的統(tǒng)計(jì)量實(shí)際上反映了總體取值的分散程度，常用的有如下幾種：

　　①樣本極差：

　　例10.數(shù)據(jù)為 ，樣本觀測(cè)值為：140，150，155，130，145，那么將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155

　　解析：最小值為130，最大值為155，因此樣本極差R=155-130=25

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　　同樣，對(duì)分組數(shù)據(jù)來(lái)講，樣本方差的近似值為：

　　其中 表示第i組的組中值。

　　樣本極差的計(jì)算十分簡(jiǎn)便，但對(duì)樣本中的信息利用得也較少，而樣本方差就能充分利用樣本中的信息，因此在實(shí)際中樣本方差比樣本極差用得更廣。

　�、蹣颖�標(biāo)準(zhǔn)差：

　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差的意義：

　　樣本方差盡管對(duì)數(shù)據(jù)的利用是充分的，但是方差的量綱（即數(shù)據(jù)的單位）是原始量綱的平方，例如樣本觀測(cè)值是長(zhǎng)度，單位是“毫米”，而方差的單位是“平方毫米”，單位不同就不便于比較，而采用樣本標(biāo)準(zhǔn)差就消除了單位的差異。