三、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

　　樣本來(lái)自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息，但是這些信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來(lái)反映總體的特征，我們?nèi)〉脴颖局�后，并不是直接利用樣本進(jìn)行推斷，而需要對(duì)樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”，把樣本中所包含的有關(guān)信息盡可能地集中起來(lái)，種有效的辦法就是針對(duì)不同的問(wèn)題，構(gòu)造出樣本的某種函數(shù)，這就是統(tǒng)計(jì)量。不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。

　　1、統(tǒng)計(jì)量把不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。一個(gè)統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。

　　定義：設(shè)（X1，X2，…，Xn）為取自總體X的一個(gè)樣本，g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)中不包含任何未知參數(shù)，則稱g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

　　例如，設(shè)X～N（m，s2），其中m已知，s2未知，（X1，X2，…，Xn）為取自X的樣本，則是統(tǒng)計(jì)量，%26shy；%26shy；%26shy；不是統(tǒng)計(jì)量。

　　統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，因而統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。

　　由統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷，便可獲得對(duì)總體的認(rèn)識(shí)，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心內(nèi)容。

　　2、抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。

　　例5：從均值為，方差為的總體中抽得一個(gè)樣本量為n的樣本，其中與均未知。

　　在此情形，是統(tǒng)計(jì)量；而，都不是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)楹笳甙�含，等未知參�?shù)。

　　3、常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量可分為兩類，一類用來(lái)描述樣本的中心位置，另一類用來(lái)描述樣本的分散程度。為此先介紹有序樣本的概念，再引入幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量。

　　有序樣本設(shè)是從總體X中隨機(jī)抽取的樣本，樣本量為n，將它們的觀測(cè)值從小到大排列為：，這便是有序樣本。其中是樣本中的最小觀測(cè)值，是樣本中的最大觀測(cè)值。

　　例6、從某種合金強(qiáng)度總體中隨機(jī)抽取樣本量為5的樣本，記為，樣本觀測(cè)值為：140，150，155，130，145解析：將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155，這便是有序樣本，其中最小的觀測(cè)值為=30，最大的觀測(cè)值為=155.（1）描述樣本的中心位置的統(tǒng)計(jì)量總體中每一個(gè)個(gè)體的取值盡管是有差異的，但是總有一個(gè)中心位置，如樣本均值、樣本中位數(shù)等。描述樣本中心位置的統(tǒng)計(jì)量反映了總體的中心位置，常用的有以下幾種：

　�、贅颖揪�值樣本觀測(cè)值有大有小，樣本均值大致處于樣本的中間位置，它可以反映總體分布的均值。

　　例7、上例數(shù)據(jù)：，樣本觀測(cè)值為：140，150，155，130，145.樣本均值為=（140+150+155+130+145）/5=144.對(duì)分組數(shù)據(jù)，樣本均值的近似值為其中是分組數(shù)，是第組的組中值，是第組的頻數(shù)，。例8下表是經(jīng)過(guò)整理的分組數(shù)據(jù)表，給出了110個(gè)電子元件的失效時(shí)間：

　　分組區(qū)間[0，400][400，800）[800，1200）[1200，1600）[1600，2000）[2000，2400）

　　組中值xi2006001000140018002200頻數(shù)ni628372397解析：

　　平均失效時(shí)間近似為：

　　=1170.9②樣本中位數(shù)中位數(shù)有時(shí)也記為Me.當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)例9現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)（已經(jīng)排序）：2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，7，7，82，4，4，4，5，6，6，7，7，8，8，8，9，9解析：

　　第一組共有13個(gè)數(shù)據(jù)，處于中間位置的是第7個(gè)數(shù)據(jù)，樣本中位數(shù)即為。第二組共有14個(gè)數(shù)據(jù)，處于中間位置的是第7，8個(gè)數(shù)據(jù)，樣本中位數(shù)即為。（3）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量總體中各個(gè)個(gè)體的取值總是有差別的，因此樣本的觀測(cè)值也是有差異的，這種差異有大有小，反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的統(tǒng)計(jì)量實(shí)際上反映了總體取值的分散程度，常用的有如下幾種：

　�、贅颖緲O差：

　　例10、數(shù)據(jù)為，樣本觀測(cè)值為：140，150，155，130，145，那么將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155解析：最小值為130，最大值為155，因此樣本極差R=155-130=25②樣本方差：

　　同樣，對(duì)分組數(shù)據(jù)來(lái)講，樣本方差的近似值為：

　　其中表示第i組的組中值。

　　例11、數(shù)據(jù)為，樣本觀測(cè)值為：140，150，155，130，145解析：

　　上式有兩個(gè)簡(jiǎn)化的計(jì)算公式：

　　樣本極差的計(jì)算十分簡(jiǎn)便，但對(duì)樣本中的信息利用得也較少，而樣本方差就能充分利用樣本中的信息，因此在實(shí)際中樣本方差比樣本極差用得更廣。

　�、蹣颖�標(biāo)準(zhǔn)差：

　　在上例中。在例8中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的意義：樣本方差盡管對(duì)數(shù)據(jù)的利用是充分的，但是方差的量綱（即數(shù)據(jù)的單位）是原始量綱的平方，例如樣本觀測(cè)值是長(zhǎng)度，單位是“毫米”，而方差的單位是“平方毫米”，單位不同就不便于比較，而采用樣本標(biāo)準(zhǔn)差就消除了單位的差異。